Los números reales y el infinito

En estas notas trataremos dos grandes temas: Los mentados en el título. Para estudiar los números reales es necesario conocer las propiedades de los racionales y para esto es a su vez necesario comprender a los números enteros. Por esto comenzaremos en el capítulo 1 analizando las propiedades algebraicas de los enteros y los racionales. También estudiaremos las propiedades que posee el orden de los racionales, pues la diferencia principal entre los racionales y los reales se refleja en el orden. En el capítulo 2 estudiaremos a los reales. El énfasis se hará en el uso de la propiedad del supremo para mostrar algunas de las propiedades más importantes de R.

El capítulo 1 tiene además otro propósito. Queremos que el lector experimente, quizá por primera vez, con demostraciones simbólicas formales. Es decir, argumentos lógicos presentados secuencialmente donde cada proposición en la demostración debe estar rigurosamente justificada. Esto sólo lo haremos en una parte del capítulo 1, el resto del texto estará escrito en el estilo usual en matemáticas, que sin dejar de ser riguroso y formal, no se ciñe a ese esquema estricto de las demostraciones de la lógica simbólica.

El segundo tema que queremos tratar es el concepto de infinito. Para hacerlo es naturalmente necesario estudiar primero a las funciones. Esto es por sí mismo un objetivo muy importante, pues las funciones son una herramienta imprescindible para todos los cursos de matemáticas. En el capítulo 3 hacemos una breve introducción de la relaciones binarias para poder introducir el concepto de función como un tipo particular de relación binaria.

Finalmente, en el capítulo 5 estudiamos el concepto de cardinalidad. Queremos que el lector se familiarize con las propiedades básicas de los conjuntos infinitos, en particular que pueda distinguir los conjuntos numerables y conozca que la recta no tiene el mismo tamaño que los números racionales.

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