Permutaciones y Grupo Simétrico

Generalizaciones de la fórmula cuadrática para polinomios cúbicos y cuárticos fueron descubiertos en el siglo XVI, y uno de los mayores problemas matemáticos desde entonces fue encontrar fórmulas análogas para las raíces de polinomios de mayor grado; todos los intentos fracasaron. A mediados del siglo XVIII se entendió que las permutaciones de las raíces de un polinomio f(x) era importante; por ejemplo, se conoció que los coeficientes de f(x) son “funciones simétricas” de sus raíces. En 1770 J.-L. Lagrange usó permutaciones para analizar las fórmulas dadas las raíces de cúbicas y cuárticas, pero no desarrolló completamente esta visión puesto que vio en las permutaciones sólo rearreglos, y no biyecciones que pueden componerse.Composición y permutación aparece en el trabajo de P. Ruffini y de P. Abbati cerca de 1800; en 1815, A.L. Cauchy estableció el cálculo de permutaciones, y este punto de vista fue usado por N.H. Abel en su prueba (1824) de que existen polinomios quínticos para los cuales no existe generalización de la fórmula cuadrática. En 1830, E. Galois inventó los grupos, asociando a cada polinomio un grupo de permutaciones de sus raíces, y probó que existe una fórmula para las raíces si y sólo si el grupo de permutaciones tiene una propiedad especial.